Question

3．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A₁，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB₁與α的交點(diǎn)為E，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G在側(cè)棱AA₁上，
（1）證明：E為BB₁的中點(diǎn)，
（2）若AG：A₁G=3：1，求證：FG∥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)DC與AB相交于P，則P?DC，連結(jié)A₁P交BB₁于E，由已知推導(dǎo)出△A₁AP∽△BQP，由此能證明E為BB₁的中點(diǎn)．
（2）取BE中點(diǎn)M，連結(jié)FM、GM，由已知推導(dǎo)出面GFM∥面A₁ECD，由此能證明GF∥面CDE．

解答 證明：（1）在底面ABCD中，∵四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，
延長(zhǎng)DC與AB相交于P，則P?DC，連結(jié)A₁P交BB₁于E，
∵DC?平面α，∴P?α，
∵AD∥BC，且AD=2BC，∴BC：AD=PB：AP=1：2，
∵A₁A∥BQ
∴△A₁AP∽△BQP，
∴$\frac{BE}{A{A}_{1}}$=$\frac{BP}{AP}$=2，
∴E為BB₁的中點(diǎn)．
（2）取BE中點(diǎn)M，連結(jié)FM、GM，
∵F、M為BC、BE中點(diǎn)，∴MF∥EC，
∵${A}_{1}G=\frac{1}{4}{A}_{1}A，EM=\frac{1}{4}{B}_{1}B$，∴A₁G$\underset{∥}{=}$EM，∴A₁E∥GM，
∴面GFM∥面A₁ECD，
∴GF∥面CDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．