Question

（本小題滿分12分）

如圖一所示，邊長為1的正方體中，分別為的中點。

  

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若為的中點，證明：；

（Ⅲ）如圖二所示為一幾何體的展開圖，沿著圖中虛線將它們折疊起來，所得幾何體的體積為，若正方體的體積為，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）證明：見解析；（Ⅲ）．

【解析】本試題主要是考查了空間中點線面的位置關系的綜合運用，求解線面平行和線線垂直的問題，以及體積的運算的綜合運用。

（1）取的中點，連接，，然后借助于平行四邊形得到線線平行，從而證明線面平行。

（2）要證明線線垂直，關鍵是證明線面垂直，然后運用線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直的證明。

（3），該幾何體為有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，即四棱錐的高為1，底面是邊長為1的正方形，因此可以利用整體間的關系的得到比值。

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，，

∵F、H分別是的中點，

∴且，

∵在正方體中，，

又分別為的中點，

∴，

∴四邊形FHBE為平行四邊形，

∴，

又∵，

∴；………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）證明：取BC中點I，連接GI，AI，

在正方形ABCD中，E，I分別為AB，BC的中點，

∴，

∵

∴，

又，

∴，又，

∴

由四邊形為平行四邊形得，

∴；……………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）如圖二所示，該幾何體為有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，即四棱錐的高為1，底面是邊長為1的正方形，

∴，又，

∴．…………………………………………………………………………………12分