Question

如圖所示，一個(gè)四棱錐的主視圖和側(cè)視圖均為直角三角形，俯視圖為矩形，則該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：畫出滿足條件的四棱錐的直觀圖，可令棱錐PA⊥矩形ABCD，進(jìn)而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由線面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了兩個(gè)直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的個(gè)數(shù)．

解答： 解：滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側(cè)棱與底面垂直，
畫出滿足條件的直觀圖如圖四棱錐P-ABCD所示，
不妨令PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，
故△PAB 和△PAD都是直角三角形．
又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD．
這樣CB垂直于平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PA、AB，
CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線 PA、AD，
由線面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．
故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查證明線線垂直、線面垂直的方法，以及棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．