Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然界對數(shù)的底,)

（Ⅰ）設(shè)，求證：當時，；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)，則，所以

又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 

故函數(shù)的解析式為       …………………3分

證明：當且

時，，設(shè)

因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增，所以

  又因為，所以當時，，此時單調(diào)遞減，所以

所以當時，即       ……………………6分

（Ⅱ）解：假設(shè)存在實數(shù)，使得當時，有最小值是3，則

（ⅰ）當，時，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．

所以，解得（舍去）

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數(shù)是減函數(shù)；

當時，，此時函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得

綜上可知，存在實數(shù)，使得當時，有最小值３

【解析】（Ⅰ）,設(shè),證明，（Ⅱ）的最小值是3，討論a的值對函數(shù)最小值的影響。