Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-3x，函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)g（x）的極值；
（3）設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f（x）的圖象交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），證明$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸，斜率為0，求出a即可．
（2）求出函數(shù)的極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出函數(shù)的極值．
（3）利用直線的斜率以及導(dǎo)函數(shù)的符號，證明即可．

解答 解：（1）依題意得：g（x）=lnx+ax²-3x，則g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-3，
函數(shù)g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸
g′（1）=1+2a-3=0，∴a=1…（2分）
（2）由（1）得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$
∵函數(shù)g（x）的定義域為：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，或x=1．
函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}，1$）單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．故函數(shù)g（x）的極小值為g（1）=-2．…（6分）．
（3）證明：依題意得$k=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{{lnx}_{2}-{lnx}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$⇒lnx₂-kx₂=lnx₁-kx₁，
令h（x）=lnx=kx，則h′（x）=$\frac{1}{x}-k$，
由h′（x）=0得：x=$\frac{1}{k}$，當(dāng)x＞$\frac{1}{k}$時，h′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{k}$時，h′（x）＞0，
h（x）在（0，$\frac{1}{k}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{k}$，+∞）單調(diào)遞減，又h（x₁）=h（x₂），
x₁＜$\frac{1}{k}$＜x₂，
即 $\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)性，考查分析問題解決問題的能力．