Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D為CC₁的中點，AB₁與A₁B相交于點O，連接OD．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

證明：（1）取BB₁的中點E，連接ED，EO，
則OE∥AB，又OE?平面ABC，AB?平面ABC，
∴OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC
又OE∩DE=E∴平面OED∥平面ABC
而OD?平面OED，∴OD∥平面ABC

（2）連B₁D，AD，∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D為CC₁的中點，
∴Rt△ACD≌Rt△B₁C₁D，∴A₁D=BD
又O是AB₁的中點，∴AB₁⊥DO，
∵A₁B∩DO=O∴AB₁⊥平面A₁BD
分析：（1）欲證OD∥平面ABC，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理可知只需證平面OED與平面ABC平行，取BB₁的中點E，連接ED，EO，OE∥平面ABC，同理DE∥平面ABC，又OE∩DE=E，而OD?平面OED，滿足定理所需條件；
（2）欲證AB₁⊥平面A₁BD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB₁與平面A₁BD內(nèi)兩相交直線垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，滿足定理所需條件．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定、以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．