Question

(本小題滿分12分)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ,是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

（1）求橢圓C的方程

（2）設(shè)斜率為k(k¹0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，；問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)( - , 0 ) ∪( 0 , )時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q、的直線對(duì)稱

【解析】

試題分析：解：(1)、橢圓方程可表示為……………1分

設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn)，

則| NH |² =x²+(y-3)² =" -" (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當(dāng)y =" -" b時(shí)，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，

所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5 (均舍去) …………………3分

若b≥3，則當(dāng)y = -3時(shí)，| NH |²有最大值2b²+18 ，

所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為………………6分

(ii) 設(shè) A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，

則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；………①　　……………………8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y=" -" x - ，

將點(diǎn)Q( x₀ , y₀ )坐標(biāo)代入得y₀=" -" x₀- ………②　　……………………9分

由①②解得Q( ,  )，

而點(diǎn)Q必在橢圓的內(nèi)部

∴ ，…………… 10分

由此得k² < ，又k≠0

∴ - < k < 0或0 < k <

故當(dāng)( - , 0 ) ∪( 0 , )時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q、的直線對(duì)稱。……12分

考點(diǎn)：本試題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題關(guān)鍵的一步是理解到短軸端點(diǎn)的最遠(yuǎn)的距離的表示，以及能理解和聯(lián)立方程組，運(yùn)用點(diǎn)差法得到直線的方程，根據(jù)點(diǎn)Q在橢圓內(nèi)得到參數(shù)k的范圍，屬于中檔題。