Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx（a∈R）。
（1）當(dāng)時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定義域D上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x），f₂（x）的 “活動函數(shù)”。已知函數(shù)f₁（x）=（a-）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=x²+2ax。
①若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”，求a的取值范圍；
②當(dāng)時，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”有無窮多個。

Answer 1

解：（1）當(dāng)時，

對于x∈[1，e]，有f'（x）>0，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)
∴。
（2）①在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”，
則f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），令p（x）=f（x）- f₂（x）=
對x∈（1，+∞）恒成立
且
對x∈ （1，+∞）恒成立
∴
（i）若，令p（x）=0，得極值點x₁=1，
當(dāng)x₂>x₁=1，即時，在（x₂，+∞）上有p'（x）>0，
此時p（x）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
（ii）若，則有2a-1≤0，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
從而p（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
要使p（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，
只需滿足p（1）=-a-，
所以
又因為
h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)

所以
綜合可知a的范圍是。
②當(dāng)時，，
則
因為
y=f₂（x）- f₁（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
所以
設(shè)
則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f₁（x），f₂（x）的“活動函數(shù)”有無窮多個
其他如R（x）=λf₁（x）+μ（x）f₂（x）（0 ＜λ，μ＜1，且λ+μ=1）等也可以。