在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，連接橢圓C的四個頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對角線相互垂直的四邊形的面積計(jì)算公式即可得出；
（2）由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時，△AOB的面積取得最大值，得出m，n滿足的關(guān)系式，與m2+4n2=4聯(lián)立解出即可．
解答：解：（1）由題意可得解得a=2，b=1，，
所以橢圓的方程為．
（2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時，S△AOB有最大值，
當(dāng)∠AOB=90°時，點(diǎn)O到直線AB的距離為．
由??m2+n2=2．
又∵m2+4n2=4，聯(lián)立解得，此時點(diǎn)M．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對角線相互垂直的四邊形的面積計(jì)算公式、直線與圓相交交點(diǎn)與原點(diǎn)得到三角形的面積最大問題、點(diǎn)到直線的距離公式等知識與方法，要求有較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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