Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)（1，0），求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上不存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{1}{f（x）+ax}+\frac{4x}{{{e^x}-f（x）+4}}$，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a；
（Ⅱ）由題意可得a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1無解，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，即可得到a的范圍；
（Ⅲ）a=1，化簡函數(shù)g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1等價(jià)為e^x（3x-4）+x+4≥0，令F（x）=e^x（3x-4）+x+4，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可得證．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-a，
函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率為1-a，
在x=0處的切線過點(diǎn)（1，0），可得1-a=-1，
解得a=2；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上不存在零點(diǎn)，即為
a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1無解，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
即有h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)-1＜x＜0，或0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增．
則x＞0時(shí)，x=1處h（x）取得最小值e，-1＜x＜0時(shí)，h（x）＜-$\frac{1}{e}$．
則有a的范圍是-$\frac{1}{e}$≤a＜e；
（Ⅲ）證明：a=1，函數(shù)$g（x）=\frac{1}{f（x）+ax}+\frac{4x}{{{e^x}-f（x）+4}}$=$\frac{1}{{e}^{x}}$+$\frac{4x}{x+4}$，
當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1等價(jià)為e^x（3x-4）+x+4≥0，
令F（x）=e^x（3x-4）+x+4，F(xiàn)（0）=0，F(xiàn)′（x）=e^x（3x-1）+1，F(xiàn)′（0）=0，
再令G（x）=e^x（3x-1）+1，G′（x）=e^x（3x+2）＞0，
即有G（x）在x≥0遞增，即為G（x）≥G（0）=0，
即有F′（x）≥0，即F（x）在x≥0遞增，
則F（x）≥F（0）=0，即有e^x（3x-4）+x+4≥0，
故當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≥1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求得單調(diào)性解決，屬于中檔題．