Question

在圓x²+y²=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為a_n，若公差d∈(

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合

 

．

Answer 1

分析：由題意過(guò)點(diǎn)(

5

2

，

3

2

)有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為a_n，利用圓中的弦長(zhǎng)公式求出a₁，a_n又由于，成等差數(shù)列，得到公差d，利用公差的范圍及n為正整數(shù)逼出n的取值．

解答：解：∵圓的方程為x²+y²=5x，化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，
由此可以知道圓心：(

5

2

，0)圓的半徑為

5

2

，
利用圓的性質(zhì)可以知道最短弦應(yīng)為過(guò)已知定點(diǎn)與圓心連線(xiàn)垂直的弦最短由此得a₁=

2	( 5 2 )2-[ ( 5 2 - 5 2 ) 2( 3 2 -0)2 ]

=4，
最長(zhǎng)弦為過(guò)定點(diǎn)的圓的直徑an=

5

2

×2=5，∴d=

an-a1

n-1

=

1

n-1

，
∵

1

6

＜d≤

1

3

，∴

1

6

＜

1

n-1

≤

1

3

，
∴3≤n-1＜6，∴4≤n＜7，n∈N⁺，
∴n=4，5，6；
故答案為：n=4，5，6．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了圓中求解弦的最大與最小，還考查了等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)間的通項(xiàng)公式及利用公差的范圍和n的取值范圍逼出n的數(shù)值．