Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和滿足S_n＞1，且

6S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，n∈N^*

(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{b_n}滿足，并記T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：

3T_n＋1＞log₂(a_n＋3)，n∈N^*

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解由，解得或，由假設(shè)，因此， 　　又由， 　　得， 　　即或，因，故不成立，舍去． 　　因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為． 　　(Ⅱ)證法一：由可解得； 　　從而． 　　因此． 　　令， 　　則． 　　因，故． 　　特別地，從而． 　　即． 　　證法二：同證法一求得及， 　　由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時(shí)，不等式成立． 　　由此不等式有 　　 　　． 　　證法三：同證法一求得及． 　　令，． 　　因． 　　因此． 　　從而 　　． 　　證法四：同證法一求得及． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：． 　　當(dāng)時(shí)，，， 　　因此，結(jié)論成立． 　　假設(shè)結(jié)論當(dāng)時(shí)成立，即． 　　則當(dāng)時(shí)， 　　 　　 　　 　　因．故． 　　從而．這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立． 　　綜上對(duì)任何成立．