Question

對于定義在R上的函數(shù)f（x）有以下五個命題：
①若f（x）為奇函數(shù)，則y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱；
②若對于任意x∈R，有f（x-2）=f（x+2），則f（x）的圖象一定關(guān)于直線x=2對稱；
③函數(shù)y=f（x+2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④如果函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），那么該函數(shù)以4為周期；
⑤如果函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=-f（3-x），那么該函數(shù)以4為周期．
其中錯誤命題的序號為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于①，奇函數(shù)f（x）的對稱中心是（0，0），向右平移一個單位后得f（x-1），對稱中心必然平移一個單位．
對于②，根據(jù)已知能得到周期T=4，無法得對稱軸．
對于③，這是兩個函數(shù)的對稱軸之間的關(guān)系，由x+2=2-x，得x=0是對稱軸．
對于④，根據(jù)周期的定義可以證明是正確結(jié)論
對于⑤，根據(jù)周期的定義可以證明是不正確結(jié)論

解答： 解：對于①若f（x）為奇函數(shù)，則（0，0）是函數(shù)f（x）的對稱中心，將函數(shù)向右平移一個單位得f（x-1），對稱中心也向右平移一個單位，故f（x-1）關(guān)于（1，0）中心對稱．故結(jié)論正確．
對于②是不正確的結(jié)論，由f（x-2）=f（x+2）說明函數(shù)的周期是4，并不能說明圖象一定關(guān)于直線x=2對稱，故結(jié)論不正確．
對于③結(jié)論是不正確的．將函數(shù)f（x）向左平移2個單位得f（x+2），將f（-x）向右平移2個單位得f（2-x），因?yàn)閒（x）與f（-x）關(guān)于y軸對稱，所以f（x+2）與f（2-x）也是關(guān)于y軸對稱，由x+2=2-x，得x=0是對稱軸．
對于④結(jié)論正確．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=f（3-x），∴f（x+4）=f[（x+1）+3]=f[3-（x+1）]
=f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x），∴T=4．
對于⑤結(jié)論是不值錢的．∵f（x+1）=f（1-x），f（x+3）=-f（3-x），∴f（x+4））=f[（x+1）+3]
=-f[3-（x+1）]=-f（2-x）=-f[1+（1-x）]=-f[1-（1-x）]=-f（x），∴f（x+4）=-f（x），∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x）
∴T=8．綜上可知，結(jié)論②③⑤是不正確的．
故答案為：②③⑤

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的抽象性質(zhì)，其中①和③都是容易出錯的題目，屬于中檔題．