Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）若方程f（x）=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，能推導(dǎo)出b=4，c=3．由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

，知：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-2的拋物線(xiàn)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的圖象是一條直線(xiàn)，由此能求出f（x）的圖象．
（3）由方程f（x）=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，知x²+4x+3=k（x＜0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

x2+bx+c，(x＜0) -x+3，(x≥0)

，
且f（-4）=f（0），f（-2）=-1，
∴

16-4b+c=3 4-2b+c=-1

，解得b=4，c=3．
∴f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

．
（2）∵f（x）=

x2+4x+3，x＜0 -x+3，x≥0

，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=-2的拋物線(xiàn)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的圖象是一條直線(xiàn)．
列表

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	…
f（x）	…	3	0	-1	0	3	2	…

描點(diǎn)，連線(xiàn)，得到f（x）的圖象：

（3）∵方程f（x）=k有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴x²+4x+3=k（x＜0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴

△=16-4(3-k)＞0 x1+x2=-4 x1x2=3-k＞0

，
解得-

4

3

＜k＜3．
故k的取值范圍是（-

4

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考果函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的圖象的作法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視f（x）=k兩個(gè)根都小于零的情況．