Question

16．求函數(shù)y=cos²x+4sinx的最值及取到最大值和最小值時的x的集合．

Answer 1

分析 令sinx=t，t∈[-1，1]，換元可得y=-（t-2）²+5，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
換元可得y=cos²x+4sinx
=1-t²+4t=-t²+4t+1=-（t-2）²+5，
由二次函數(shù)可知y在t∈[-1，1]單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最大值為4，此時sinx=t=1，x的集合為{x|x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
函數(shù)的最大值為-4，此時sinx=t=-1，x的集合為{x|x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z}．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并利用二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．