Question

在二項(xiàng)式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則有理項(xiàng)都不相鄰的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì),二項(xiàng)式定理

分析：求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n；求出展開式的項(xiàng)數(shù)；令通項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，求出展開式的有理項(xiàng)；利用排列求出將9項(xiàng)排起來所有的排法；利用插空的方法求出有理項(xiàng)不相鄰的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．

解答： 解：展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

 x 

2n-3r

4

∴展開式的前三項(xiàng)系數(shù)分別為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∵前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列
∴

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

解得n=8
所以展開式共有9項(xiàng)，
所以展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(

1

2

 )r

C

r 8

x 

16-3r

4

當(dāng)x的指數(shù)為整數(shù)時(shí)，為有理項(xiàng)
所以當(dāng)r=0，4，8時(shí)x的指數(shù)為整數(shù)即第1，5，9項(xiàng)為有理項(xiàng)共有3個(gè)有理項(xiàng)
所以有理項(xiàng)不相鄰的概率P=

A 6 6 A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故答案為：

5

12

點(diǎn)評(píng)：解決排列、組合問題中的不相鄰問題時(shí)，先將沒有限制條件的元素排起來；再將不相鄰的元素進(jìn)行插空．