Question

如圖，某市擬在長為16km的道路OP的一側(cè)修建一條自行車賽道，賽道的前一部分為曲線OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的圖象，且圖象的最高點為S（6，4）．賽道的后一段為折線段MNP，為保證參賽隊員的安全，限定∠MNP=120°．
（1）求實數(shù)A和ω的值以及M、P兩點之間的距離；
（2）連接MP，設(shè)∠NPM=θ，y=MN+NP，試求出用θ表示y的解析式；
（3）（理科）應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段MNP最長？
（文科）求函數(shù)y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合函數(shù)的圖象，推出周期的故選式，利用圖象經(jīng)過S，即可求出實數(shù)A和ω的值，求出M點的坐標(biāo)即可求出M、P兩點之間的距離；
（2）連接MP，設(shè)∠NPM=θ，y=MN+NP，利用正弦定理求出MN、NP，即可求出用θ表示y的解析式；
（3）通過（2）化簡函數(shù)的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合θ的范圍，求出折線段MNP最大值，（理）說明設(shè)計方案即可．
解答：解（1）結(jié)合題意和圖象，可知，
解此方程組，得，于是．
進一步可得點M的坐標(biāo)為．
所以，MP=（km）．
（2）在△MNP中，∠MNP=120°∠NPM=θ，故．
又MP=10，
因此，y=（0°＜θ＜60°）．
（3）（文）把進一步化為：
（0°＜θ＜60°）．
所以，當(dāng)（km）．
（理）把進一步化為：
（0°＜θ＜60°）．
所以，當(dāng)（km）．
可以這樣設(shè)計：連接MP，分別過點M、P在MP的同一側(cè)作與MP成30°角的射線，記兩射線的交點為N，再修建線段NM和NP，就可得到滿足要求的最長折線段MNP賽道．
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用，涉及正弦定理、三角函數(shù)的化簡求值，最值的求法以及函數(shù)解析式的求法，關(guān)鍵要提高邏輯推理能力．