Question

已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))  
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)
（3）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；（3） 

解析試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)，然后確定單調(diào)性，分析最值；(2)把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值，然后分析交點(diǎn)的情形即根的情形；（3）通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分析，可得導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于零恒成立問(wèn)題，然后轉(zhuǎn)化為最值求解
試題解析：（1），
當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，
又，
故，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)        4分
（2）易知，故，
方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)。
設(shè)=，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增。
又，，作出與直線(xiàn)的圖像，由圖像知：
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；
當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；               10分
（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于
即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，
恒成立，即在時(shí)恒成立。
在時(shí)是減函數(shù)              16分
（其他解法酌情給分）
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值