已知a＞0，b＞0，且k=min(a，
b
a2+4b2
)，其中min（a，b）表示數(shù)a，b中較小的數(shù)，則k的最大值是
1
2
1
2
．
分析：由a＞0，b＞0，利用基本不等式可得
b
a2+4b2
≤
1
4a
，由k=min(a，
b
a2+4b2
)，我們分別討論當0＜a＜
1
2
時，當a=
1
2
時，當a＞
1
2
時，k的取值，即可得到答案．
解答：解：∵
b
a2+4b2
=
1
a2
b
+4b
≤
1
4a

當0＜a＜
1
2
時，a＜
1
4a
，此時k＜
1
2
；
當a=
1
2
時，a=
1
4a
，此時k=
1
2
；
當a＞
1
2
時，a＞
1
4a
，此時k=
1
4a
＜
1
2
；
故k的最大值是
1
2

故答案為：
1
2
點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)的解析式，基本不等式，其中根據(jù)基本不等式得到
b
a2+4b2
≤
1
4a
，并根據(jù)a=
1
4a
時，a=
1
2
，以確定分類標準，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數(shù)）是否有公共點，并證明你的結(jié)論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源：松江區(qū)二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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