14．證明：當(dāng)n為大于2的整數(shù)時(shí)，n5-5n3+4n能被120整除．

分析 原式可化為n（n2-1）（n2-4）=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）=120•${C}_{n+2}^{5}$，命題得證．

解答 證明：∵n5-5n3+4n=n（n4-5n2+4）
=n（n2-1）（n2-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2）
=${A}_{n+2}^{5}$
=${A}_{5}^{5}$•${C}_{n+2}^{5}$
=120•${C}_{n+2}^{5}$，
因?yàn)閚＞2且n∈Z，所以${C}_{n+2}^{5}$為整數(shù)，
故n5-5n3+4n能被120整除．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用排列數(shù)和組合公式證明整數(shù)問題，涉及多項(xiàng)式的因式分解和運(yùn)用綜合法證明問題，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．若彈簧掛著的小球做簡諧運(yùn)動(dòng)，時(shí)間t（s）與小球相對于平衡位置（即靜止時(shí)的位置）的高度h（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式是h=2sin（ωt+$\frac{π}{4}$），t∈[0，+∞），其圖象如圖所示．
（1）求ω（ω＞0）的值；
（2）小球開始運(yùn)動(dòng)（即t=0）時(shí)的位置在哪里？
（3）小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？

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3．求函數(shù)y=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$的最小值．

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2．已知函數(shù)f（x）=ax3+x2+bx （其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函數(shù)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．

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9．設(shè)點(diǎn)F是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，O為任意點(diǎn)，求證：$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$．

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19．寫出一個(gè)系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行4列矩陣（1 2 3 4）的線性方程組．

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6．如圖所示，有一紙板為△ABC，AB=24cm，BC=32cm，AC=40cm．它所在的平面α與平面γ平行．在α、γ之間有一個(gè)與它們平行的平面β上有一個(gè)小孔P，α、β相距40cm，β、γ相距為60cm．經(jīng)小孔P，△ABC在墻面上成像為△A′B′C′，求像的面積．

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3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB．

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4．下列說法中：
①兩條直線都和同一個(gè)平面平行，則這兩條直線平行；
②在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個(gè)平面圖形的形狀和大小完全相同；
③一個(gè)圓繞其任意一條直徑旋轉(zhuǎn)180°所形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球；
④a∥b，b?α⇒a∥α；
⑤已知三條兩兩異面的直線，則存在無窮多條直線與它們都相交．
則正確的序號是②⑤．

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