Question

α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷:

①m⊥n  ②α⊥β  ③n⊥β  ④m⊥α

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：___________________________________.

 

Answer 1

答案：
解析：

m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n，或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β.（二者任選一個即可）

提示：

假設(shè)①、③、④為條件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立， 如圖，過m上一點P作PB∥n，則PB⊥m，PB⊥β，設(shè)垂足為B. 又設(shè)m⊥α的垂足為A， 過PA、PB的平面與α、β的交線l交于點C， 因為l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，得l⊥AC，l⊥BC，∠ACB是二面角α－l－β的平面角. 顯然∠APB+∠ACB=180°，因為PA⊥PB，所以∠ACB=90°，得α⊥β.由①、③、④推得②成立. 反過來，如果②、③、④成立，與上面證法類似可得①成立.