Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：（其中常數(shù)λ＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：當(dāng)λ=4時(shí)，數(shù)列{a_n}中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．求證：若任意n∈N^*，（1-λ）S_n+λa_n≥3．

Answer 1

（Ⅰ）解：由①，
取n=1時(shí)，求得a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，有②，
①-②得：．∴．
又a₁=3也適合上式，
所以，．
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ=4時(shí)，．
下面用反證法證明
假設(shè)存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，
則[（2r+1）•4^r-1]•[（2t+1）•4^t-1]=（2s+1）²•4^2s-2．
整理得（2r+1）（2t+1）•4^r+t-2s=（2s+1）²．
等式右邊為奇數(shù)，要使左邊等于右邊，則r+t-2s=0．
所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）²，整理得（r-t）²=0，∴r=t．這與r≠t矛盾，
故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列．
（Ⅲ）證明：S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1．
當(dāng)λ=1時(shí)，．
當(dāng)λ≠1時(shí)，S_n=3+5λ+7λ²+…+（2n+1）λ^n-1③．
④．
③-④得：
=．
所以，當(dāng)λ=1時(shí)，不等式左邊=（1-λ）S_n+λa_n=a_n=2n+1≥3，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)λ≠1時(shí)，不等式左邊=
=．
而λ＞0，1-λ和1-λ^n-1同號(hào)，故．
∴（1-λ）S_n+λa_n≥3．
綜上，（1-λ）S_n+λa_n≥3對(duì)任意n∈N^*都成立．
分析：（Ⅰ）由給出的遞推式知，n=1時(shí)，a₁=3，n≥2時(shí)，在遞推式中取n=n-1得另一遞推式，兩式作差后可求a_n，驗(yàn)證首項(xiàng)后即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式中，把λ值代4，利用反證法證明不存在正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，利用等差數(shù)列求和求出S_n，當(dāng)λ≠1時(shí)，利用錯(cuò)位相減法求出S_n，把求得的a_n和S_n代入要求證的不等式左邊，整理后即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了反證法，體現(xiàn)了整體代換思想，是很好的數(shù)列與不等式綜合題．屬中高檔題．