Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)G是側(cè)面三角形PBC的重心；
（1）求證：AC⊥平面PBD．
（2）求AG與平面PBD所成的角的正弦值．
（3）在側(cè)棱PD上是否存在一點(diǎn)N，使得PB∥平面AGN？，若存在試確定點(diǎn)N的位置，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面PBD．
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=1，則我們可以求出直線AG的方向向量與平面PBD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出AG與平面PBD所成的角的正弦值．
（3）設(shè)PD上存在點(diǎn)N，使DN=λDP，我們易根據(jù)PB∥平面AGN，構(gòu)造λ的方程，解方程求出滿足條件的λ值，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，則PD⊥AC，從而AC⊥平面PBD；

解：（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸，不妨設(shè)PD=1，則DC=1，從而有A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0）P（0，0，1），又G為△PBC的重心，
則G(

1

3

，

2

3

，

1

3

)．由（1）知

AC

是平面PBD的法向量，
則AG與平面PBD所成的角θ=

π

2

-?

AC

，

AG

＞
易知

AC

=(-1，1，0)，

AG

=(-

2

3

，

2

3

，

1

3

)，
則sinθ=cos?

AC

，

AG

＞=

2 2

3

為所求；
（3）設(shè)PD上存在點(diǎn)N，使DN=λDP，則

DN

=λ

DP

=λ(0，0，1)=(0，0，λ)∴

AN

=

AD

+

DN

=(-1，0，λ)，又

PB

=(1，1-1)，若PB∥平面AGN，則向量

PB

與

AN

，

AG

共面，依共面向量定理知存在實(shí)數(shù)m，n，使得

PB

=m

AN

+n

AG

，即(1，1，-1)=m(-1，0，λ)+n(-

2

3

，

2

3

，

1

3

)，則

-m- 2 3 n=1 2 3 n=1 mλ+ 1 3 n=-1

解得

m=-2 n= 3 2 λ= 3 4

，故側(cè)棱PD上存在點(diǎn)N，當(dāng)DN=

3

4

DP時(shí)滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得AC⊥BD，PD⊥AC，（2）、（3）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．