Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程$f（x）=\frac{1}{2}x+m$恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• B． $（0，\frac{3}{4}）$
• C． $[{0，\frac{9}{16}}]$
• D． $（0，\frac{9}{16}）$

Answer 1

分析 若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+m有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x，x＜0\\-{x^2}+2x，x≥0\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{1}{2}$x+m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+m有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，m=0，
由y=-x²+2x的導(dǎo)數(shù)y′=-2x+2=$\frac{1}{2}$得：x=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+m與y=-x²+2x相切時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$），
當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}$x+m經(jīng)過（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）時(shí)，m=$\frac{9}{16}$，
故m∈（0，$\frac{9}{16}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．