已知不等式mx2-mx-1<0.
(1)若對(duì)?x∈R不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若對(duì)?x∈[1,3]不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若對(duì)滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
分析:(1)分情況討論:若m=0易判斷;當(dāng)m≠0時(shí),則有
m<0
△=m2+4m<0
,解出m,綜合兩種情況即得m范圍;
(2)令f(x)=mx2-mx-1,分三種情況進(jìn)行討論:當(dāng)m=0時(shí)易判斷;當(dāng)m>0時(shí),由題意可得
f(1)<0
f(3)<0
,從而得m的不等式組;當(dāng)m<0時(shí),數(shù)形結(jié)合可得f(1)<0,三者結(jié)合可求得m的取值范圍;
(3)令g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,由題意可得
g(-2)<0
g(2)<0
,解此關(guān)于x的不等式組即可求得x的范圍;
解答:解:(1)要使不等式mx2-mx-1<0恒成立,
①若m=0,顯然-1<0;
②若m≠0,則
m<0
△=m2+4m<0
,解得-4<m<0,
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-4<m≤0}.
(2)令f(x)=mx2-mx-1,
①當(dāng)m=0時(shí),f(x)=-1<0顯然恒成立;
②當(dāng)m>0時(shí),若對(duì)?x∈[1,3]不等式恒成立,只需
f(1)<0
f(3)<0
即可,
所以
f(1)=-1<0
f(3)=9m-3m-1<0
,解得m<
1
6

所以0<m<
1
6

③當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象開口向下,對(duì)稱軸為x=
1
2
,若對(duì)?x∈[1,3]不等式恒成立,結(jié)合函數(shù)圖象知只需f(1)<0即可,解得m∈R,所以m<0,
綜上所述,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m<
1
6
};
(3)令g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,
若對(duì)滿足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立,則只需
g(-2)<0
g(2)<0
即可,
所以
-2(x2-x)-1<0
2(x2-x)-1<0
,解得
1-
3
2
<x<
1+
3
2
,
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是{x|
1-
3
2
<x<
1+
3
2
}.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)恒成立及二次函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,解決恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值,有時(shí)采取數(shù)形結(jié)合會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.
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已知不等式mx2+nx-
1
m
<0
的解為{x|x<-
1
2
或x>2}

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