已知函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=f(x)+f'(x),其中a是正實數(shù).
(1)若當(dāng)1≤x≤e時,函數(shù)f(x)有最大值-4,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)求a的取值范圍,使得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù).
解:(1)
,由
∴
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,(3分)
若x∈(0,+∞),則當(dāng)
時,f(x)取得最大值.
由條件1≤x≤e,所以
①當(dāng)
,即
,∴a=e
3>1不可能;
②當(dāng)
即a>1時,由單調(diào)性可知f
max(x)=f(1)=-4,∴a=4>1滿足條件;
③當(dāng)
即
時,由單調(diào)性可知f
max(x)=f(e)=-4,∴
也不可能.
綜上可知a=4,進而f(x)=lnx-4x(7分)
(2)
∴
(9分)
當(dāng)
,即
時,g'(x)≤0恒成立,且只有x=2時g'(x)=0,
所以
時,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào).
因為所求a的取值范圍是
. (12分)
分析:(1)由當(dāng)1≤x≤e時,函數(shù)f(x)有最大值-4,求出函數(shù)f(x)=lnx-ax的導(dǎo)數(shù),對a的范圍時行討論,得出函數(shù)在1≤x≤e最值,令其為-4,求出參數(shù)a,即可得到函數(shù)的解析式;
(2)a的取值范圍,使得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù),可得出,此a的取值范圍,可設(shè)得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上的導(dǎo)數(shù)值恒為正或恒為負(fù),由此建立不等式求出a的取值范圍.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,判斷出函數(shù)的最值,本題第一小題利用最值建立方程求出參數(shù),此是導(dǎo)數(shù)在最值問題中的一個重要運用,本題運算量大,解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn),避免變形運算失誤,導(dǎo)致解題失。