Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間即可；
（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≥1時(shí)，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，由此即可求k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e^kx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得x=-

1

k

（k≠0），
若k＞0，則當(dāng)x∈（-∞，-

1

k

）時(shí)，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-

1

k

，+∞，）時(shí)，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
若k＜0，則當(dāng)x∈（-∞，-

1

k

）時(shí)，
f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-

1

k

，+∞，）時(shí)，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≤-1，
即k≤1時(shí)，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
若k＜0，則當(dāng)且僅當(dāng)-

1

k

≥1，
即k≥-1時(shí)，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
綜上可知，函數(shù)f（x）（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，
k的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．