【題目】已知四棱錐中,底面為菱形,,平面,、分別是、上的中點(diǎn),直線與平面所成角的正弦值為,點(diǎn)在上移動(dòng).
(Ⅰ)證明:無(wú)論點(diǎn)在上如何移動(dòng),都有平面平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)恰為的中點(diǎn)時(shí),二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出AE⊥PA,AE⊥AD,從而AE⊥平面PAD,由此能證明無(wú)論點(diǎn)F在PC上如何移動(dòng),都有平面AEF⊥平面PAD.
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AE為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值.
(Ⅰ)連接
∵底面為菱形,,
∴是正三角形,
∵是中點(diǎn),∴
又,∴
∵平面,平面,
∴,又
∴平面,又平面
∴平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,兩兩垂直,以,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵平面,
∴就是與平面所成的角,
在中,,即,
設(shè),則,得,
又,設(shè),則,
所以,
從而,∴,
則,,,,,
,,
所以,,,
設(shè)是平面一個(gè)法向量,則
取,得
又平面,∴是平面的一個(gè)法向量,
∴
∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社區(qū)消費(fèi)者協(xié)會(huì)為了解本社區(qū)居民網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況,隨機(jī)抽取了100位居民作為樣本,就最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額(單位:千元),網(wǎng)購(gòu)次數(shù)和支付方式等進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)査.經(jīng)統(tǒng)計(jì)這100位居民的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額均在區(qū)間內(nèi),按,,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計(jì)該社區(qū)居民最近一年來(lái)網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額的中位數(shù);
(2)將網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)金額在20千元以上者稱為“網(wǎng)購(gòu)迷”,補(bǔ)全下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“網(wǎng)購(gòu)迷與性別有關(guān)系”;
男 | 女 | 合計(jì) | |
網(wǎng)購(gòu)迷 | 20 | ||
非網(wǎng)購(gòu)迷 | 45 | ||
合計(jì) | 100 |
(3)調(diào)査顯示,甲、乙兩人每次網(wǎng)購(gòu)采用的支付方式相互獨(dú)立,兩人網(wǎng)購(gòu)時(shí)間與次數(shù)也互不. 影響.統(tǒng)計(jì)最近一年來(lái)兩人網(wǎng)購(gòu)的總次數(shù)與支付方式,所得數(shù)據(jù)如下表所示:
網(wǎng)購(gòu)總次數(shù) | 支付寶支付次數(shù) | 銀行卡支付次數(shù) | 微信支付次數(shù) | |
甲 | 80 | 40 | 16 | 24 |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
將頻率視為概率,若甲、乙兩人在下周內(nèi)各自網(wǎng)購(gòu)2次,記兩人采用支付寶支付的次數(shù)之和為,求的數(shù)學(xué)期望.
附:觀測(cè)值公式:
臨界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前n項(xiàng)中最大值為,最小值為,令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)若數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,求;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,試問(wèn)數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)舉例說(shuō)明;
(3)若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),定義,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)于下列結(jié)論:
符合的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為8;
設(shè)點(diǎn)是直線:上任意一點(diǎn),則;
設(shè)點(diǎn)是直線:上任意一點(diǎn),則使得“最小的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)”的必要條件是;
設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),則.
其中正確的結(jié)論序號(hào)為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】義烏國(guó)際馬拉松賽,某校要從甲乙丙丁等人中挑選人參加比賽,其中甲乙丙丁人中至少有人參加且甲乙不同時(shí)參加,丙丁也不同時(shí)參加,則不同的報(bào)名方案有( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人同時(shí)參加一個(gè)外貿(mào)公司的招聘,招聘分筆試與面試兩部分,先筆試后面試.甲筆試與面試通過(guò)的概率分別為0.8,0.5,乙筆試與面試通過(guò)的概率分別為0.8,0.4,且筆試通過(guò)了才能進(jìn)入面試,面試通過(guò)則直接招聘錄用,兩人筆試與面試相互獨(dú)立互不影響.
(1)求這兩人至少有一人通過(guò)筆試的概率;
(2)求這兩人筆試都通過(guò)卻都未被錄用的概率;
(3)記這兩人中最終被錄用的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐中,,H為P點(diǎn)在平面ABC的投影,.
Ⅰ證明:平面PHA;
Ⅱ求AC與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,離心率為,點(diǎn)在橢圓上,且的面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),若在軸上存在點(diǎn),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)數(shù)系數(shù)相等,且展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256
B.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大
C.展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)
D.展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為45
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