如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB．
（1）求證：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
【答案】分析：（1）要證AB⊥平面PCB，只需證明直線AB垂直平面PCB內(nèi)的兩條相交直線PC、CD即可；
（2）取AP的中點(diǎn)O，連接CO、DO；說明∠COD為二面角C-PA-B的平面角，然后解三角形求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
解答：（1）證明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．

（2）解：取AP的中點(diǎn)O，連接CO、DO．
∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=，
∵CD⊥平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DO⊥PA．
∴∠COD為二面角C-PA-B的平面角．
由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，
又∵AB=BC，AC=2，求得BC=
PB=，CD=
∴
cos∠COD=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點(diǎn)，設(shè)
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時(shí)能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點(diǎn)，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德陽二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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