Question

（2008•上海模擬）拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1（n∈N^*），交x軸于A_n，B_n兩點(diǎn)，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|值為

2008

2009

．

Answer 1

分析：A_n、B_n是拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸的交點(diǎn)，所以其橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，求出一元二次方程的根，根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差求出距離，找出規(guī)律解答即可

解答：解：由已知A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
即A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0的根．
故拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由題意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

．
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．
故答案為：

2008

2009

．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程，在解答過(guò)程中，注意二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并從中擇取有用信息解題；
（2）求兩點(diǎn)間的距離時(shí)，要利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差來(lái)解答．