Question

4．已知f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，則a²+b²的取值范圍為$[{\frac{9}{5}，+∞}）$．

Answer 1

分析 由題意可知f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，從而結(jié)合f′（x）=3x²+2ax+b的圖象開(kāi)口向上可得不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b≤0}\\{f′（0）=b≤0}\end{array}\right.$，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，
∵f′（x）=3x²+2ax+b的圖象開(kāi)口向上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3-2a+b≤0}\\{f′（0）=b≤0}\end{array}\right.$，
作不等式組表示的平面區(qū)域如下，
，
a²+b²的幾何意義是陰影內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，
且原點(diǎn)到直線3-2a+b=0的距離的平方為
$\frac{|3-0{|}^{2}}{{2}^{2}+1}$=$\frac{9}{5}$；
故a²+b²≥$\frac{9}{5}$；
故答案為：$[{\frac{9}{5}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了a²+b²的幾何意義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．