Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積是．記點的軌跡為．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）已知直線，分別交直線于點，，軌跡在點處的切線與線段交于點，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

試題分析：（I）設出坐標為，求出直線的斜率和直線的斜率，利用斜率成績?yōu)?/span>，整理即可得出曲線的方程；（II）設出坐標，得出，的方程，進一步求出點的縱坐標，寫出橢圓在的切線方程，由判別式等于得到過的斜率（用的坐標表示），代入切線方程，求得點的縱坐標，設，轉(zhuǎn)化為坐標關鍵，即可求出，得出的值．

試題解析：解法一：（Ⅰ）設點坐標為，則直線的斜率（）；直線的斜率（）．

由已知有（），

化簡得點的軌跡的方程為（）．

（Ⅱ）設（），則．

直線的方程為，令，得點縱坐標為；

直線的方程為，令，得點縱坐標為；

設在點處的切線方程為，

由得．

由，得，

整理得．

將代入上式并整理得，解得，

所以切線方程為．

令得，點縱坐標為．

設，所以，所以

所以．

將代入上式，，解得，即．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設（），則．

直線的方程為，令，得點縱坐標為；

直線的方程為，令，得點縱坐標為；

設在點處的切線方程為，

由得．

由，得，

整理得．

將代入上式并整理得，解得，

所以切線方程為．

令得，點縱坐標為．

所以，

所以為線段的中點，即．