Question

求下列函數(shù)的值域
（1）y=log_a（-2sin²x+5sinx-2）；
（2）．

Answer 1

解：（1）令sinx=t，則-1≤t≤1，則真數(shù) p=-2sin²x+5sinx-2=-2，p＞0
∵-1≤t≤1，∴-≤t-∴-9≤-2≤1，-9≤p≤1
∴0＜p≤1
即y=log_ap，（，-9≤p≤1）
故當a＞1時，函數(shù)值域為（-∞，0]
當0＜a＜1時，函數(shù)的值域為[0，+∞）．
（2）=（sinxcos-cosxsin）•cosx
=
∵-1
∴函數(shù)值域為[-]．
分析：（1）中所給函數(shù)是由對數(shù)函數(shù)和一元二次構(gòu)成的復合函數(shù)，其單調(diào)性遵循同增異減，欲求該對數(shù)函數(shù)的值域，需要采用換元法求出真數(shù)的p的范圍．
（2）中所給函數(shù)是兩個不同角的三角函數(shù)式乘積，可以用差角的正弦公式展開原式，再利用三角函數(shù)的誘導公式合并成同一名下的三角函數(shù)，最后結(jié)合三角函數(shù)自身的有界性解決本題．
點評：換元法或三角函數(shù)法求值域，最大的問題是范圍，要充分注意換元后的范圍以及三角函數(shù)的有界性．
另外，正（余）弦型函數(shù)y=Asin（wx+θ）+b，（y=Acos（wx+θ）+b）的特點如下：
一名（整個函數(shù)表達式只有一個三角函數(shù)名，能充分發(fā)揮三角函數(shù)性質(zhì)的應用）
一角（整個函數(shù)表達式只有一個角，有利于結(jié)合三角函數(shù)的有界性）
一次（最高次冪是一次的，有利于結(jié)合繁雜的誘導公和三角函數(shù)性質(zhì)）