【題目】設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)． （Ⅰ）證明：a2＞ ；
（Ⅱ）若 ，求△OAB的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程．

【答案】證明：（Ⅰ）由y=k（x+1）（k≠0）得 ． 并代入橢圓方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0 ①
∵直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，
∴ ．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由①，得 ，②
∵ ，而點(diǎn)C（﹣1，0），
∴（﹣1﹣x1 ， ﹣y1）=2（x2+1，y2），
得y1=﹣2y2代入②，得 ，③
∴△OAB的面積 = = ≤ = ，當(dāng)且僅當(dāng)k2=3，即 時(shí)取等號(hào)．
把k的值代入③可得 ，
將 及 這兩組值分別代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2+y2=15
【解析】（1）把直線l的方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)可得△＞0，解出即可證明；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等得到y(tǒng)1 ， y2的關(guān)系及可用k來(lái)表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積 及基本不等式的性質(zhì)即可得出取得面積最大值時(shí)的k的值，進(jìn)而得到a的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)生物興趣小組在學(xué)校生物園地種植了一批名貴樹(shù)苗，為了了解樹(shù)苗生長(zhǎng)情況，從這批樹(shù)苗中隨機(jī)地測(cè)量了其中50棵樹(shù)苗的高度（單位：厘米）.把這些高度列成了如下的頻率分布表：

（1）在這批樹(shù)苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率大約是多少？

（2）這批樹(shù)苗的平均高度大約是多少？（用各組的中間值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）

（3）為了進(jìn)一步獲得研究資料，若從組中移出一棵樹(shù)苗，從組中移出兩棵樹(shù)苗進(jìn)行試驗(yàn)研究，則組中的樹(shù)苗和組中的樹(shù)苗同時(shí)被移出的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開(kāi)始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為．

（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1成立．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查寒假期間學(xué)生平均每天的學(xué)習(xí)時(shí)間，被調(diào)查的學(xué)生每天用于學(xué)習(xí)的時(shí)間介于1小時(shí)和11小時(shí)之間，按學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間分成5組：第一組[1，3），第二組[3，5），第三組[5，7），第四組[7，9），第五組[9，11]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9）的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）現(xiàn)要從第三組、第四組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機(jī)抽取2人交流學(xué)習(xí)心得，求這2人中至少有1人的學(xué)習(xí)時(shí)間在第四組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（ ）
A.
B.y=x2
C.y=﹣x|x|
D.y=x﹣2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，則關(guān)于函數(shù)F（x）=f（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確的結(jié)論是 ． （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）
①k=0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)．②k＜0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)．
③k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)．④k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著生活水平的提高，人們對(duì)空氣質(zhì)量的要求越來(lái)越高，某機(jī)構(gòu)為了解公眾對(duì)“車(chē)輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查人,并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡（歲）

頻數(shù)

贊成人數(shù)

（1）世界聯(lián)合國(guó)衛(wèi)生組織規(guī)定: 歲為青年， 為中年，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)以下列聯(lián)表：

青年人

中年人

合計(jì)

不贊成

贊成

合計(jì)

（2）判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為贊成“車(chē)柄限行”與年齡有關(guān)？

附： ，其中

獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表：

（3）若從年齡的被調(diào)查中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查，設(shè)選中的兩人中持不贊成“車(chē)輛限行”態(tài)度的人員為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+）（A，ω，是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論： ①最小正周期為π；
②將f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（0）=1；
④ ；
⑤ ．
其中正確的是（ ）

A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.②③⑤

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