Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面與等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)．
（Ⅰ） 證明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ） 求MC與平面DEC所成的角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BEC，
所以AB⊥平面BEC，故AB⊥EC．
因?yàn)锽E⊥EC，所以EC⊥平面ABE，
故EC⊥BM．
因?yàn)锳B=BE，M為AE的中點(diǎn)，所以AE⊥BM．
所以BM⊥平面AEC．
解：（Ⅱ）如圖，將幾何體ABCDE補(bǔ)成三棱柱AFD﹣BEC，
設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)MG，GC．
因?yàn)镸G∥BE，所以MG⊥平面DEC．
因此∠MCG為MC與平面DEC所成的角．
不妨設(shè)AB=2，則AB=BE=EC=2，
因此MG=1， ， ，
故 ，
所以MC與平面DEC所成的角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由已知推導(dǎo)出AB⊥EC，EC⊥BM，AE⊥BM，由此能證明BM⊥平面AEC．（Ⅱ）將幾何體ABCDE補(bǔ)成三棱柱AFD﹣BEC，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)MG，GC，推導(dǎo)出∠MCG為MC與平面DEC所成的角，由此能求出MC與平面DEC所成的角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．