Question

13．已知函數(shù)f（x）=xe^ax（x∈R）
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）若a=-1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅲ）若a=-1，且函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （I）求出a=1時(shí)函數(shù)f（x）和導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)和切線的斜率，即可得到切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=xe^-x．求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)小于0，可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間，繼而得到f（x）的極值；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），證明函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，即可證得結(jié)論．

解答 解：（I）若a=1時(shí)，f（x）=xe^x，f′（x）=（1+x）e^x，
∴切線的斜率為f′（0）=1，f（0）=0，
則切點(diǎn)為（0，0），
故切線方程為y=x；
（Ⅱ）若a=-1時(shí)，f（x）=xe^-x，
∴f′（x）=（xe^-x）′=e^-x+x（e^-x）′=（1-x）e^-x，
令f′（x）=（1-x）e^-x=0，解得：x=1．
令f′（x）＜0，則x＞1．
令f′（x）＞0，則x＜1．
則函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）在x=1處取得極小值f（1）=$\frac{1}{e}$，無(wú)極大值；
（Ⅲ），若a=-1時(shí)，f（x）=xe^-x，
∵y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點(diǎn)（x₀，y₀）關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為（2-x₀，y₀），
∴y₀=（2-x₀）${e}^{{x}_{0}-2}$，
∴g（x）=（2-x）e^x-2，
設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=xe^-x-（2-x）e^x-2，
∴h′（x）=（1-x）e^-x-（1-x）e^x-2=（1-x）（e^-x-e^x-2），
令m（x）=e^-x-e^x-2，
∴m′（x）=-e^-x-e^x-2＜0恒成立，
∴m（x）＜m（1）=$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=0，
∴h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{e}$=0，
∴f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及函數(shù)的解析式的求解和恒成立的證明，屬于中檔題．