Question

已知數(shù)列滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），若b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1），b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)可得

1

an+1

=

2

an

+1，化為

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

1

an

+1=2n，
于是b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，由于b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得b_n+1＞b_n，解出即可．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），
∴

1

an+1

=

2

an

+1，化為

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
∴數(shù)列{

1

an

+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

+1=2，公比為2，
∴

1

an

+1=2n，
∴b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，
化為λ＜n+1，
∵數(shù)列{n+1}為單調(diào)遞增數(shù)列，
∴λ＜2．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ＜2．
故答案為：λ＜2．

點(diǎn)評：本題考查了變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法、單調(diào)遞增數(shù)列，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．