【題目】如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，D為BC的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）連接交與點，可證得，從而得證線面平行；

（2）以DA，DC所在直線，過點D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求出平面的一個法向量，由直線的方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對值求得線面角的正弦值．

（1）連接，記，連接DE，

在直三棱柱中，易知側(cè)面為平行四邊形，所以E是的中點，

又D為BC的中點，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）因為，D為BC的中點，所以，

又在直三棱柱中，平面ABC，

所以可以DA，DC所在直線，過點D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為，為等腰直角三角形，

所以，，，，

故，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，

令，得，則為平面的一個法向量，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇，某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價（元/件）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量（萬件）

90

84

83

80

75

68

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若該產(chǎn)品成本是4元/件，假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出，預(yù)測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤?

（參考公式：回歸方程，其中）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱平面是內(nèi)一點，點在直線上運動，若直線和所成角的最小值與直線和平面所成角的最大值相等，則滿足條件的點的軌跡是（ ）

A.直線的一部分B.圓的一部分C.拋物線的一部分D.橢圓的一部分

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，邊長為4的正方形，為中點，為邊上一動點，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，重合為點，形成四棱錐，過點作平面于.①平面平面；②當(dāng)為中點時，三棱錐的體積為；③為的垂心；④長的取值范圍為 .則以上判斷正確的有______（填正確命題的序號）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，，分別是棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）若，求平面將三棱錐分成的兩部分的體積中較大部分的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊，若把沿邊折疊到的位置，使平面平面．

（1）證明：．

（2）若為棱的中點，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 函數(shù).若關(guān)于的方程有個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 （ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平行四邊形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分別是BC，AD的中點.將四邊形DCEF沿著EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）證明：DB⊥EF；

（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）討論單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)存在兩個零點，求證：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案