Question

（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF:FC=3:1．

（1）求證：PA⊥BC；

（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；

（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面

角的正切值．

 

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)略   （Ⅲ）

解析:

(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

        ∴，∴；……1分

       又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

       同理可得  …………………………2分

       ∵，∴……3分

      ∵平面ABC，∴PA⊥BC.   …………4分

(2)  如圖所示取PC的中點G，…………………5分

連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點

      又D、E分別為BC、AC的中點，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分 

      ∴面ABG∥面DEF．           

即PC上的中點G為所求的點．                  …………… 9分

(3)由(2)知G這PC的中點，連結GE，∴GE⊥平面ABC，過E作EH⊥AB于H，連結GH，則GH⊥AB，∴∠EHG為二面角G-AB-C的平面角．         …………… 11分

∵        又  

∴     又      …………… 13分

∴                          

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值為．         …………… 14分