Question

【題目】已知圓，圓與軸交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線為是圓上異于的一點(diǎn)，垂直于軸，垂足為，是的中點(diǎn)，延長分別交于．

（1）若點(diǎn)，求以為直徑的圓的方程，并判斷是否在圓上；

（2）當(dāng)在圓上運(yùn)動時，證明：直線恒與圓相切．

Answer 1

【答案】（1）圓的方程為，且在圓上；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）已知點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求出直線的方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由圓的方程可知點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出以為直徑的圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得在圓上；（2）要證明結(jié)論，需證明，可先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求點(diǎn)坐標(biāo)，得與斜率，得得結(jié)論．

試題解析：（1）由，∴直線的方程為，

令，得，由，,則直線的方程為，

令，得，∴為線段的中點(diǎn)，以為直徑的圓恰以為圓心，半徑等于，

所以，所求圓的方程為，且在圓上，

（2）設(shè)，則，直線的方程為，

在此方程中令，得，

直線的斜率，

若，則此時與軸垂直，即，若，則此時直線的斜率為

∴，即，則直線與圓相切