Question

遼寧號航母紀念章從2012年10月5日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下：

上市時間x天	4	10	36
市場價y元	90	51	90

（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個恰當的函數描述遼寧號航母紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系：①y=ax+b；②y=ax²+bx+c；③y=alog_bx；
（2）利用你選取的函數，求遼寧號航母紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格；
（3）設你選取的函數為f（x），若對任意實數k，方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知中每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據，可分析出隨著時間x的增加，y的值先減后增，結合一次函數，二次函數及對數函數的圖象和性質，可求出恰當的函數模型；
（2）由已知中每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據，代入（1）中解析式，構造方程組，解方程組求出參數，可得函數的解析式，進而結合二次函數的圖象和性質得到遼寧號航母紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格；
（3）若方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，則對應的△＞0，由此構造關于m的不等式，解不等式可得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵隨著時間x的增加，y的值先減后增，
而所給的三個函數中y=ax+b和y=alog_bx顯然都是單調函數，不滿足題意，
∴y=ax²+bx+c…（4分）
（2）把點（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得

a•42+4b+c=90 a•102+10b+c=51 a•362+36b+c=90

⇒

a= 1 4 b=-10 c=126

…（6分）
∴y=

1

4

x2-10x+126=

1

4

(x-20)2+26
∴當x=20時，y有最小值，y_min=26…（8分）
故，遼寧號航母紀念章市場價最低時的上市天數為20天，最低價格為26元…（9分）
（3）由（2）知f(x)=

1

4

x2-10x+126，又∵f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，則

1

4

x2-(k+10)x+6-2m=0恒有兩個相異的零點，所以△1=[-(k+10)]2-4×

1

4

(6-2m)＞0恒成立，…（11分）
即k²+20k+2m+94＞0對k∈R恒成立，
所以，△2=202-4(2m+94)＜0，…（12分）
解得m＞3．故，m的取值范圍為（3，+∞）．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數的應用，待定系數法求函數的解析式，函數的零點，方程根的存在性及個數的判斷，難度中檔．