已知a,b,x,y均為正數(shù),且a≠b.
(Ⅰ)求證:(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)≥(a+b)2,并指出“=”成立的條件;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
(0<x<
1
3
)的最小值,并指出取最小值時(shí)x的值.
分析:(I)先將(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+
ya2
x
+
xb2
y
+b2=a2+b2+(
ya2
x
+
xb2
y
),利用基本不等式a2+b2≥2ab,即可證得結(jié)論;
(II)利用(I)的結(jié)論,將函數(shù)f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
變形為f(x)═(
9
3x2
+
9
1-3x2
)(3x2+1-3x2
即可解決問(wèn)題.
解答:解:(Ⅰ)∵(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+
ya2
x
+
xb2
y
+b2=a2+b2+(
ya2
x
+
xb2
y

≥a2+b2+2
ya2
x
xb2
y
=a2+b2+ab=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)ay=bx時(shí)取等號(hào).

(II)∵f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
=
9
3x2
+
9
1-3x2
=(
9
3x2
+
9
1-3x2
)(3x2+1-3x2
由(I)知,上式≥(3+3)2=36,當(dāng)且僅當(dāng)3x2=1-3x2即x2=
1
6
時(shí)等號(hào)成立,
∴函數(shù)f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
(0<x<
1
3
)的最小值36,取最小值時(shí)x的值為
6
6
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的應(yīng)用,另外給你一種解題工具,讓你應(yīng)用它來(lái)解答某一問(wèn)題,這是近年考試命題的一種新穎的題型之一,很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年河南省周口市高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(選修4—5:不等式選講)

已知a、b、x、y均為正實(shí)數(shù),且,x>y. 求證:.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年河南省周口市高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(選修4—5:不等式選講)

已知a、b、x、y均為正實(shí)數(shù),且,x>y. 求證:.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知a,b,x,y均為正數(shù),且a≠b.
(Ⅰ)求證:(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)≥(a+b)2,并指出“=”成立的條件;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)=
3
x2
+
9
1-3x2
(0<x<
1
3
)的最小值,并指出取最小值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:模擬題 題型:解答題

已知a、b、x、y均為正實(shí)數(shù),且,x>y,求證:。

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