如圖，三棱錐P-ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，點(diǎn)O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)，PO⊥AB，連結(jié)CD．
（1）若PA=2a，求異面直線PA與CD所成角的余弦值的大�。�
（2）若二面角A-PB-C的余弦值的大小為
5
5
，求PA．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角
專題：綜合題,空間角
分析：（1）連結(jié)OC，建立空間直角坐標(biāo)系，求出
PA
=（0，-
2
a，-
2
a），
CD
=（-
2
a，
2
2
a，
2
2
a），可得cos＜
PA
，
CD
＞=
-2a2
2a•
3
a
=-
3
3
，即可求異面直線PA與CD所成角的余弦值的大�。�
（2）求出平面PAB的一個(gè)法向量、平面PBC的一個(gè)法向量，利用二面角A-PB-C的余弦值的大小為
5
5
，即可求PA．
解答： 解：連結(jié)OC．
∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，
∴PO⊥平面ABC．
從而PO⊥AB，PO⊥OC．
∵AC=BC，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB．且OA=OB=OC=
2
a． …（2分）
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）PA=2a，PO=
2
a．A（0，-
2
a，0），B（0，
2
a，0），C（
2
a，0，0），
P（0，0，
2
a），D（0，
2
2
a，
2
2
a）．  …（4分）
從而
PA
=（0，-
2
a，-
2
a），
CD
=（-
2
a，
2
2
a，
2
2
a）．
∵cos＜
PA
，
CD
＞=
-2a2
2a•
3
a
=-
3
3
，
∴異面直線PA與CD所成角的余弦值的大小為
3
3
． …（6分）
（2）設(shè)PO=h，則P（0，0，h）．
∵PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．
從而
OC
=（
2
a，0，0）是平面PAB的一個(gè)法向量．
不妨設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為
n
=（x，y，z），
∵
PB
=（0，
2
a，-h），
BC
=（
2
a，-
2
a，0），
∴
2
ay=hz
x=y

不妨令x=1，則y=1，z=
2
a
h
，則
n
=（1，1，
2
a
h
）．        …（8分）
由已知，得
5
5
=
2
a
2
a•
2+
2a2
h2
，化簡(jiǎn)，得h2=
2
3
a2．
∴PA=
PO2+OA2
=
2
3
a2+2a2
=
2
6
3
a．      …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查向量方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出四個(gè)命題：
①“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件
②“向量
a
，
b
，
c
，若
a
•
b
=
a
•
c
，則
b
=
c
”是真命題
③“對(duì)任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是“存在x0∈R，
x
2
0
+1＜0”
④“若α=
π
6
，則sinα=
1
2
”的否命題是“α≠
π
6
，則sinα≠
1
2
”
說法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果執(zhí)行如圖所示的框圖，輸入如下四個(gè)復(fù)數(shù)：
（1）z=
1
2
i；(2)-
1
4
+
3
4
i；(3)
2
2
+
1
2
i；(4)z=
1
2
-
3
2
i
那么輸出的復(fù)數(shù)是（　　）
A、（1）B、（2）
C、（3）D、（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解某校學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)試的情況，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了6位同學(xué)，這6位同學(xué)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如莖葉圖所示．
（1）求這6位同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；
（2）從這6位同學(xué)中隨機(jī)選出兩位同學(xué)來分析成績(jī)的分布情況，設(shè)ξ為這兩位同學(xué)中成績(jī)低于平均分的人數(shù)，求ξ的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（
A
2
）=
1
2
，bc=6，求a的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，AB=2
3
，AC=2，PD=2
2
，Q為線段PE上不同于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC⊥DQ；
（Ⅱ）若二面角B-AQ-E的大小為60°，求
QE
PE
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M為PB的中點(diǎn)，N在BC上，且AN=BN．
（Ⅰ）求證：AB⊥MN；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到平面NMA的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-2）2+y2=1，點(diǎn)P在直線l：x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某園藝師培育了兩種珍稀樹苗A與B，株數(shù)分別為12與18，現(xiàn)將這30株樹苗的高度編寫成如莖葉圖（單位：cm）：

在這30株樹苗中，樹高在175cm以上（包括175cm）定義為“生長(zhǎng)良好”，樹高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非生長(zhǎng)良好”，且只有“B生長(zhǎng)良好”的才可以出售．
（1）對(duì)于這30株樹苗，如果用分層抽樣的方法從“生長(zhǎng)良好”和“非生長(zhǎng)良好”中共抽取5株，再從這5株中任選2株，那么至少有一株“生長(zhǎng)良好”的概率是多少？
（2）若從所有“生長(zhǎng)良好”中選3株，用X表示所選中的樹苗中能出售的株樹，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

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