Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且y=f（x+1）是奇函數(shù)，給出以下結(jié)論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正確的是（ ）

A．①③
B．②
C．②③
D．①

Answer 1

【答案】分析：y=f（x+1）是奇函數(shù)，y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱．f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確，④不正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值得到②③不正確．
解答：解：∵y=f（x+1）是奇函數(shù)，
∴y=f（x+1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，故①正確，④不正確，
∵f′（x）是函f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
函數(shù)的圖象是單調(diào)遞增的，
∴f′（x）恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正確，即②不正確，
f（x）（x-1）≥0不正確，
綜上可知只有①正確，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題看出函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的圖象即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是看出函數(shù)的對(duì)稱中心，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．