Question

設(shè)三棱錐s-ABC的頂點(diǎn)P在底面的射影S′（在△ABC內(nèi)部）到三個(gè)側(cè)面的距離相等，則S′是△ABC的（ ）
A．外心
B．垂心
C．內(nèi)心
D．重心

Answer 1

【答案】分析：S'在三個(gè)側(cè)面上的射影分別為E，F(xiàn)，G；連接SE，SF，SG，延長(zhǎng)線交底面于，P，Q，R，依題意可知S'E=S'F=S'G，進(jìn)而推斷出SE=SF=SG，S'P=S'Q=S'R，EQ=FP=GR 證出相等；在根據(jù)AB⊥S'S   AB⊥S'F推斷出AB⊥△SPS'進(jìn)而可知AB⊥S'P，同理可證出BC⊥S'Q     AC⊥S'R，進(jìn)而證出垂直，最后可推斷出S’是底面三角形的內(nèi)心．
解答：解：如圖，S'在三個(gè)側(cè)面上的射影分別為E，F(xiàn)，G；連接SE，SF，SG，延長(zhǎng)線交底面于，P，Q，R，
∵S'到三個(gè)側(cè)面距離相等
∴S'E=S'F=S'G
∴SE=SF=SG
S'P=S'Q=S'R    EQ=FP=GR （先證出相等）
∵AB⊥S'S   AB⊥S'F
∴AB⊥△SPS'
∴AB⊥S'P
同理證得BC⊥S'Q     AC⊥S'R  （又證出垂直）
所以S’是底面三角形的內(nèi)心
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)，線，面得距離．解題的關(guān)鍵是作出相應(yīng)的輔助線，證出點(diǎn)S′到三邊的距離相等．