Question

已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且以（λ，1+λ）為方向向量的直線l₁與經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0），且以（1+λ，-3λ）為方向向量的直線l₂相交于點(diǎn)P，其中λ∈R．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足|BM|=|BN|？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)λ進(jìn)行討論，即可求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）假設(shè)存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足|BM|=|BN|，求出線段MN的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用M在橢圓C的內(nèi)部，在直線l上，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)λ≠0且λ≠-1時(shí)，直線l₁：，直線l₂：y=
消參可得①
當(dāng)λ=0時(shí)，直線l₁：x=-2，直線l₂：y=0，其交點(diǎn)為（-2，0），適合①；
當(dāng)λ=-1時(shí)，直線l₁：y=0，直線l₂：x=2，其交點(diǎn)為（2，0），適合①；
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為；
（2）假設(shè)存在直線l：y=kx+m（m≠0）與軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且滿足|BM|=|BN|．
令線段MN的中點(diǎn)M（x，y），則BM垂直平分MN
∵，，
∴兩式相減可得，=k②
∵BM⊥MN，∴③
由②③可得
∴M（-1，）
∵M(jìn)在橢圓C的內(nèi)部，故
∴|k|＞1
∵M(jìn)（-1，）在直線l上，
∴，
∴|m|=|k+|≥，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=時(shí)取等號(hào)
∴存在直線l滿足條件，此時(shí)m的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查存在性問(wèn)題的研究，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．