Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2滿足對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的零點的個數(shù)；
（3）對于給定的實數(shù)a，有一個最小的負數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時，-4≤f（x）≤4都成立，則當(dāng)a為何值時，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=ax²+4x-2滿足對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，我們可以構(gòu)造關(guān)于a的不等式-

a

4

(x1-x2)2＜0，進而求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得方程f（x）=ax²+4x-2=0必有兩個實根，結(jié)合f（0）=-2恒成立，利用零點存在定理，分類討論a取不同值時，f（-1）與f（1）的值，即可判斷出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上的零點的個數(shù)；
（3）由（1）中結(jié)論可得函數(shù)f（x）=ax²+4x-2滿足f（0）=-2，對稱軸x=-

2

a

＜0，我們分當(dāng)-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2時，和當(dāng)-2-

4

a

≥-4，即a≥2時兩種情況分別討論M（a）的最小值，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，4分
又∵x₁≠x₂，∴必有a＞0，∴實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）． 2分
（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0． 由 a＞0，f（1）=a+2＞0
①當(dāng)0＜a＜6時，總有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，
故0＜a＜6時，f（x）在[-1，1]上有一個零點； 2分
②當(dāng)a＞6時，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4-2＞0

，即a＞6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點；2分
③當(dāng)a=6時，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點．
綜上：0＜a＜6時，f（x）在[-1，1]上有一個零點；a≥6時，f（x）在[-1，1]上有兩個零點． 2分
（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，對稱軸x=-

2

a

＜0．
①當(dāng)-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2時，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此時M（a）取較大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a +2

＞-1． 2分
②當(dāng)-2-

4

a

≥-4，即a≥2時，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此時M（a）取較小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a +2

，
∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3． 當(dāng)且僅當(dāng)a=2時，取等號． 3分
∵-3＜-1，∴當(dāng)a=2時，M（a）取得最小值-3． 1分．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，其中（1）的關(guān)鍵是得到不等式-

a

4

(x1-x2)2＜0，（2）的關(guān)鍵是將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點的個數(shù)，（3）的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)對a的取值進行分類討論．