Question

已知拋物線方程x²=4y，過點(diǎn)（t，-4）作拋物線的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B．
（I）求證直線AB過定點(diǎn)（0，4）；
（II）求△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，對(duì)拋物線方程求導(dǎo)，求得切線方程的斜率，則直線方程可得，把點(diǎn)（t，-4）代入直線方程聯(lián)立求得AB的直線方程，根據(jù)其方程推斷出直線過定點(diǎn)（0，4）
（Ⅱ）把（1）中直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用三角形面積公式求得面積的表達(dá)式，根據(jù)t的范圍求得面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又y'=

1

2

x，
則切線PA的方程為：y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x1x-y₁，
切線PB的方程為：y-y₂=

1

2

x2（x-x₂）即y=

1

2

x2x-y₂，
由（t，-4）是PA、PB交點(diǎn)可知：-4=

1

2

x₁t-y₁，-4=

1

2

x₂t-y₂，，
∴過A、B的直線方程為-4=

1

2

tx-y，
即tx-y+4=0，所以直線AB：

1

2

tx-y+4=0過定點(diǎn)（0，4）．

（Ⅱ）由

1 2 tx-y+4=0 x2=4y.

，得x²-2tx-16=0．
則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-16，
因?yàn)镾_△OAB=

1

2

×4×|x₁-x₂|=2

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

4t2+64

≥16，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，S_最小=16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和基本的運(yùn)算能力．