Question

（2013•濱州一模）某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n（n∈N^*）千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n-1）千元時(shí)多賣出

b

2n

千克．
（Ⅰ）當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí)，用b表示銷售量s；
（Ⅱ）試寫(xiě)出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時(shí)，要使廠家獲利最大，銷售量s和廣告費(fèi)n分別應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用廣告費(fèi)為n（n∈N^*）千元時(shí)比廣告費(fèi)為（n-1）千元時(shí)多賣出

b

2n

千克，可求當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí)的銷售量s；
（Ⅱ）利用疊加法，可求銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）設(shè)獲利為T(mén)_n，則要使廠家獲利最大，

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，由此可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)廣告費(fèi)為1千元時(shí)，銷售量s₁=b+

b

2

=

3b

2

當(dāng)廣告費(fèi)為2千元時(shí)，銷售量s₂=b+

b

2

+

b

4

=

7b

4

；
（Ⅱ）設(shè)s₀表示廣告費(fèi)為0千元時(shí)的銷售量，即s₀=b
由題意得s₁-s₀=

b

2

，s₂-s₁=

b

22

，…，s_n-s_n-1=

b

2n

以上n個(gè)等式相加得s_n-s₀=

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

∴s_n=2b-

b

2n

；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時(shí)，設(shè)獲利為T(mén)_n，則有T_n=as_n-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n
要使廠家獲利最大，則

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

∴10000（2-

1

2n

）-1000n≥10000（2-

1

2n+1

）-1000（n+1），且10000（2-

1

2n

）-1000n≥10000（2-

1

2n-1

）-1000（n-1）
∴2＜n＜4，∴n=3
當(dāng)n=3時(shí)，s₃=375，即廠家應(yīng)生產(chǎn)375千克產(chǎn)品，做3千元的廣告，能獲利最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的疊加法求解通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉�(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．