Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)且f（a+x）=f（a-x），則使=0成立的a值有________個．

Answer 1

1
分析：由已知可知，f（-x）=-f（x）結(jié)合條件f（a+x）=f（a-x）可求函數(shù)的周期，結(jié)合所求的式子即可求解a
解答：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∵f（a+x）=f（a-x）
∴f（2a-x）=f（x）=-f（-x）
∴f（2a+x）=-f（x），f（4a+x）=f（x）即函數(shù)是以4a為周期的函數(shù)
當a=1時，周期T=4，
∵f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{2})+f(\frac{5}{2})+f(\frac{7}{2})=0成立
∴f（\frac{7}{2}）=f（4-\frac{1}{2}）=-f（\frac{1}{2}），f（\frac{5}{2}）=f（4-\frac{3}{2}）=-f（\frac{3}{2}），滿足條件
∴a=1
故答案為：1
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性及對稱性及周期性的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用已知知識．